平面

構成幾何圖形的基本元素之一。在建立了空間直角坐標系Oxyz并在其上建立了坐標向量后,設n{ABC}為通過定點M0(x0y0z0)的平面π的垂直向量;點M0的向徑為r0;平面π內任意點M(xyz)的向徑為r(圖1

圖

),那么平面π的向量方程為n·(r-r0)=0,化為普通方程,為。設,平面 π的方程即Ax+By+Cz+D=0(ABC不全為0)。這種形式的方程,叫平面方程的一般式。

如果M1(x1y1z1),M2(x2y2z2),M3(x3y3z3)是不共線的三點,它們的向徑分別為r1r2r3M(xyz)是通過M1M2M3三點的平面π內的任意點,向徑為r。那么平面π的向量方程為。它的普通方程為

這種形式的平面方程,叫做平面方程的三點式。

如果平面πOxOyOz軸上的截距分別分αb、с,那么平面π的方程為。這種形式的平面方程,叫做平面方程的截距式。

如果從坐標原點O至平面π的距離為|OT|=p(圖2

圖

);由Oπ 的方向的單位垂線向量為n0M(xyz)是π內任意點,其向徑為r,那么π的向量方程為r·n0-p=0。它的普通方程為(αβγ分別為向量n0OxOyOz三軸的夾角)。這種形式的平面方程,叫做平面方程的法線式。

在同一直角坐標系Oxyz中,一平面的方程一般式為Ax+By+Cz+D=0,方程的法線式為 ,那么

一平面至一定點M0(x0y0z0)的距離為。如果此平面的方程為Ax+By+Cz+D=0,那么(根式符號D的符號相反)。

若平面 π1π2的方程分別為 π1π2夾角的余弦為:

(符號選取與前述同)。

π1π2平行的充要條件為。當時,π1π2不交;當時,π1π2重合。π1π2垂直的充要條件是A1A2+B1B2+C1c2=0。

在空間直角坐標系Oxyz中,建立了坐標向量后,過定點M0(x0y0z0)且與一非零向量n{lmn}同向的直線的向量方程為rr0+tn,其中r0M0的向徑,r為直線上任意點M(xyz)的向徑,t為任意實數化為普通方程為

在空間直角坐標系中,這種形式的直線方程,叫做直線方程的參數式。

方向系數為lmn,且過定點M0(x0y0z0)的直線方程為,這種形式的直線方程,叫做直線方程的標準式。

通過兩定點M1(x1y1z1)和M2(x2y2z2)的直線方程為,這種形式的直線方程,叫做直線方程的兩點式。

通過一直線的兩個平面方程聯立,也作為這直線的方程。一般地,兩平面方程聯立:方程組

其中相當項系數不成比例時,即為一直線的方程。這種形式叫做直線方程的一般式。兩直線

共面的充要條件為

方程仍如上述的兩直線夾角的余弦為

式中符號依兩不同角選取。

方程仍如上述的兩直線,其垂直的充要條件為。其平行的充要條件為

如果一直線的方程為,一平面的方程為Ax+By+Cz+D=0,那么它們的夾角的正弦為

方程仍如上述的直線和平面平行的充要條件為AlBmCn=0;垂直的充要條件為

參考文章